Festival de musique*

Filiz souhaite organiser un festival de musique lycéen dans son établissement. Pour financer l'événement, elle décide de vendre des bracelets d’entrée personnalisés aux élèves et aux familles. Elle a estimé que le coût total de production (impression des bracelets, communication et logistique) est donné par la fonction suivante : \(C(x)=0{,}3x^2−6x+150\) définie sur l'intervalle \([0\,;200]\), où `x` représente le nombre de bracelets produits.

Elle fixe le prix de vente d’un bracelet à 12 €. Il est modélisé par la fonction : \(V(x)=12x\).

Problématique : pour combien de bracelets vendus Filiz réalisera-t-elle un bénéfice maximal ?

1. Quelle est la différence entre la fonction `C` et la fonction `V` ?

2. Déterminer le coût de production pour 10 bracelets. 

3. Déterminer le montant du chiffre d'affaires réalisé pour 10 bracelets.

4. En déduire le résultat pour 10 bracelets vendus. Préciser si, pour 10 bracelets, elle réalise un bénéfice ou une perte.

5. On considère la fonction \(R(x)\) représentant le résultat réalisé par Filiz. Montrer que \(R(x)= -0{,}3x^2+18x-150\).

6. Calculer \(R'(x)\) la fonction dérivée de la fonction \(R\).

7. Résoudre l'équation \(R'(x) = 0\).

8. En déduire le tableau de signes de \(R'\) et le tableau de variations de la fonction \(R\).

9. La fonction \(R\) admet-elle un maximum ou un minimum ? Préciser sa valeur. 

10. Répondre à la problématique.